不变子空间的和谐旋律：爱弹钢琴的八旬数学家继续挑战难题

不变子空间的和谐旋律：爱弹钢琴的八旬数学家继续挑战难题

不久前，一篇看起来很谦逊的论文被上传到了arXiv预印本服务器，标题是“关于希尔伯特空间中的不变子空间问题”。这篇论文只有13页，它的参考文献列表只有一个条目，其摘要表示这篇文章解决了数学家们已经研究了半个多世纪的拼图游戏的最后一块:不变子空间问题。

在数学界很多悬而未决的开放性问题经常会吸引年轻人提出大胆的解决方案，希望借此扬名立万，但是这种努力通常很快就会被证伪。然而，这篇论文的作者，瑞典数学家Per Enflo 并不是一个雄心勃勃的后起之秀。他已经快80岁了，在这个领域深耕多年非常有名。

Per Enflo

数学、钢琴和一只活鹅

Per Enflo 1944年出生于瑞典，是美国肯特州立大学的荣退教授，一生致力于数学研究，在多年的职业生涯中作出了很多卓越的贡献：

1. 希尔伯特第五问题和一致同胚

2. 超反射巴拿赫空间

3. 基问题，近似问题和马祖尔鹅问题

4. 巴拿赫空间中的不变子空间问题

5. 经典巴拿赫空间的同构结构

6.最小点和收缩预测

7.数论、多项式在许多变量中的乘积、低度浓度的多项式

8. 极值向量和不变子空间

……

同时，Per Enflo也是一位音乐家，不是那种玩票的业余选手，而是能够出唱片和开音乐会的钢琴家，可能是瑞典目前最好的钢琴家之一，曾演奏和录制过许多钢琴协奏曲，并在世界各地与管弦乐队进行合作。

图源：wyborcza.pl

Enflo在功能分析领域建树颇丰，除了在不变子空间问题上的工作之外，Enflo还解决了另外两个主要问题：基问题和近似问题，这两个问题都已经悬置了40多年。

通过解决近似问题，Enflo破解了一个等效的难题，称为Mazur\'s Goose Problem。波兰数学家斯坦尼斯瓦夫·马祖尔（Stanisław Mazur）在1936年承诺向任何解决这个问题的人奖励一只大鹅。到了1972年，他兑现诺言，将一只大鹅送给了Enflo。

波兰数学家Stanisław Mazur（左）递给瑞典数学家Per Enflo（右）一只活鹅。

图源：Krystyna Mazurówna的家庭档案

什么是不变子空间？

如果读者还记得曾经上过的线性代数课，记得那些被称为向量、矩阵和特征向量的东西，就容易理解了。矩阵是通过改变线的方向和/或长度来转换向量的东西。如果一个特定的矩阵只变换一个特定向量的长度（意味着方向要么相同，要么朝相反的方向翻转），我们称该向量为矩阵的特征向量。

向量是矩阵的特征向量。非平凡复有限维向量空间上的每个算子都有一个特征向量，从而解决了这些空间的不变子空间问题

图源：Lyudmil Antonov Lantonov 16:35, 13 March 2008 (UTC), CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons

另一种思考方式是说矩阵将特征向量（以及任何平行于它们的线）转换回自身：这些线对于这个矩阵是不变的。我们将这些线称为矩阵的不变子空间。

具有无限维数的空间呢？

所以这是一个不变的子空间。不变子空间问题稍微复杂一些：它是关于具有无限维数的空间，它想知道这些空间中的每个线性算子（相当于矩阵）是否都必须有一个不变的子空间。

更准确地说：不变子空间问题询问复巴拿赫空间 X 上是否每个有界线性算子 T 都承认 X 的非平凡不变子空间 M，从某种意义上说，存在一个子空间 M ≠ {0}，X 的 X 使得 T（M） 包含在 M 中。

以这种方式陈述，不变的子空间问题是在上世纪中叶提出的，并且一直悬而未决。球员射门不进只能感叹自己能力不足，而当数学家无法解决问题时，他们通常会“移动球门柱”。研究这个问题的数学家通过将问题限制在特定类别的空间和运算符上来降低难度。

第一个突破是由Enflo在1970年代取得的（尽管他的结果直到1987年才发表）。他通过在巴拿赫空间上构造一个没有非平凡不变子空间的算子来回答这个问题。

那么不变子空间问题的现状如何呢？如果恩弗洛在1987年解决了，为什么他再次发表新论文呢？其实Enflo在1987年解决了巴拿赫空间的问题，但是，有一种特别重要的巴拿赫空间叫做希尔伯特空间，它具有很强的几何感，广泛应用于物理学、经济学和应用数学。

图源：Getty

解决希尔伯特空间上的算子的不变子空间问题一直非常困难，而Enflo声称已经实现的正是这一点。他的答案是肯定的：认为希尔伯特空间上的每一个有界线性算子都有一个不变的子空间。

同行评议尚未到来

据报道，Enflo本人对解决方案持谨慎态度，因为它尚未经过专家的审查。对Enflo早期证明的同行评审，对于巴拿赫空间来说，花了几年时间。然而，那篇论文长达100多页，所以对新论文的13页进行审查应该要快得多。

如果结果被证明是正确的话，这将是一个了不起的成就，特别是对于一个一生都在钻研这个领域并且已经年近八旬的老人来说，非常值得敬佩。Enflo对数学的许多贡献，以及他对许多开放问题的回答，对该领域产生了重大影响，产生了新的技术和想法。

参考文献：

1.https://theconversation.com/has-a-mathematician-solved-the-invariant-subspace-problem-and-what-does-that-even-mean-206859

2.https://arxiv.org/abs/2305.15442

来自：知社学术圈